力学

自然科学

基本的には物体の軌跡q(t)を説明することが力学の目標である。運動する質点そのものに関する情報として質量m、質点のまわりの環境に関する情報として力FあるいはポテンシャルUを扱うのがニュートンの運動方程式。また、これらを一括して系の情報として、ラグランジアンL(あるいはハミルトニアンH)を扱うのが解析力学の各方程式というイメージ。ラグランジアンの対称性がそのまま保存量に対応しているあたりは、ニュートンの定式化に比べてムダがない感じがする。

運動方程式:

m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\nabla U

ラグランジュの運動方程式:

\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q})dt = 0 つまり \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}=0
質点のラグランジアンLは一般に以下で与えられる。
L=T-U


ハミルトンの正準方程式:

\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p},\quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}
ただし質点のハミルトニアンは次のように定義される。
H = p\dot{q} - L

ハミルトン・ヤコビの方程式:
H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0

次回(9月中予定)は具体的な事例(落下運動、単振動)で運動の軌跡q(t)を求めてみて、イメージ固めをする。

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