On the Origin of Gravity and the Laws of Newton http://arxiv.org/abs/1001.0785ホログラフィック原理、というものらしい。

ラグランジアンの導関数ラグランジアンは時間に陽に依存しない (例えば運動を始める時刻によって運動の振る舞いが変わる、ということはない) ことを仮定する。ラグランジュ方程式から、 を代入する。積の導関数の式 を使って整理する。まとめる。積分すると…

ハミルトンの正準方程式で許される座標変換を正準変換という。p→P(q,p,t)、q→Q(q,p,t)という座標変換を考える。これが、新しいハミルトニアンH'(P,Q)について正準方程式を満たすとする。2つの正準方程式が成り立つためには、次の最小作用の原理が成立してい…

ラグランジアンラグランジアンの偏微分、ラグランジュ方程式 ハミルトニアンハミルトニアンの偏微分、正準方程式、 ハミルトン・ヤコビの方程式ハミルトン・ヤコビの方程式はSに関する偏微分方程式で解くのが大変。なので、ここでは運動の軌跡まで解いてみる…

ラグランジュ方程式からハミルトン・ヤコビ方程式を導出する。 作用を次のように定義する。つまり作用積分は関数q=q(t)に対してSを対応付ける汎関数である。作用の変分は、前回のとおり次のようになる。ラグランジュ方程式を代入する。今回は始端を固定(δq(t…

マクスウェル方程式を、電磁場ではなくそのポテンシャルの言葉で書いてみる。 電磁場には以下を満たすようなポテンシャル(φ,A)がある。こ 電磁場中を運動する電荷qのラグランジアンは次のように表せる。(φ,A)と電磁場は一対一に対応しているわけではない。上…

ラグランジュ方程式からハミルトンの正準方程式を導出する。 ハミルトニアンを、と定義する。まず両辺の全微分をとる。Lの全微分の式を代入する。ラグランジュ方程式を代入する。運動量pの定義式を代入する。打ち消しあう項を消去する。両辺を比較して、ハミ…

まずはベクトルの言葉で支配方程式を書く。 真空中のMaxwell方程式は、 電磁場中の電荷が受ける力(ローレンツ力)は、ポテンシャルのところは任意性が出てくるのでちょっと論理的に整理しないとよくわからない。けど、ローレンツ力をラグランジアンに乗せるに…

ラグランジュ方程式からニュートンの運動方程式を導出(もどき)する。デカルト座標をとる。L=T-Uを代入する。T=(1/2)mv^2とする。また、Uはdr/dtに依存しないとする。F=-dU/drと定義する。結果、運動方程式を得る。次回は、ラグランジュ方程式からハミルトン…

基本的には物体の軌跡q(t)を説明することが力学の目標である。運動する質点そのものに関する情報として質量m、質点のまわりの環境に関する情報として力FあるいはポテンシャルUを扱うのがニュートンの運動方程式。また、これらを一括して系の情報として、ラグ…